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数学の未解決問題―あなたには解ける?

投稿者 Nana、公開日 18/02/2019 Blog > 一般教科 > 数学 > 未解決の数学ミステリーについて学ぶ

私達は、数え方や計算などを扱う小学校の数学の段階から、数学の基礎を学んでいます。

実際、乗算、分数、さらには統計に至るまで数学の知識は、私達が生きるこの世界を理解する上で役に立っています。ただ試験に合格するためだけではなく、修養や哲学としての学びとして活きているのです。

中等教育からシックスフォーム(英国の12,13年生)までは、よく研究され反証できない一連の数学の概念を学びます。それらは、各概念と提示された問題に対する具体的な解決手段であり、学生はその内容を試験で問われることになります。数学を支える論理からは、「それ以上の問題は生まれず、さらなる研究も必要ないだろう」と信じるのは簡単です。

しかし、一定の数学問題においてはかつて一度も解かれたことがなく、優れた科学者や研究者すら答えを導けないという難題が存在します。

それらの難問は、数学で最も深遠ともいえる概念の理解に関係しており、私達の基本的な数学知識に挑戦を挑んでいるのです。

これまであなたは、学校で成功するため、すなわち、試験合格やカリキュラムでの高得点獲得のためだけに数学の学習をしてきたかもしれません。でも今から、さらなる偉大な難問の解決を目指してみませんか?そうすれば、それらの数学の謎の一つを解いた最初の人物となれるかもしれません。

7つある難題のうち一つでも解答を導けたら、100万ドルが授与されます!これで、やる気が出たのでは?

今回は SuperProf が、未解決の数学問題をご紹介します。いつかあなたが、一つ(以上?!)の難題を解いた人物として歴史の本に紹介されることを願って!

リーマン予想

リーマン予想を表すとこんな感じ!(出典:Slonzor, Wikipedia)

リーマン予想は多くの数学者により史上最大の難題であるとされています。そして、今だに解決されていません!

今日、この問題の解決に挑む研究者がごく少ないのは、解決不能に見える謎に大切なキャリアを捨てるのが怖いからなのです。

1900年、パリでの国際数学者会議にて、ダフィット・ヒルベルトは未解決問題の第8番目にリーマン予想を例示しました。それから百年後、クレイ数学研究所はこの問題を「ミレニアム懸賞問題」に追加しました。

この問題を解けば、100万ドルの賞金がもらえるというわけです!

これを聞けば、「絶対に解けないと言われる問題をいつしか解いてやる!」と数学のレッスンを受ける気になったでしょうか?

1859年、ベルンハルト・リーマンが数学史上最も複雑な問題を提起することになるとは知らず「与えられた数より小さい素数の個数について」というタイトルの論文を公表しました。

その予想は、2千年もの間数学者により解かれることのなかった問題「素数の起源」に対する解決の糸口となるものでした。

ドイツ人のリーマンは、彼の教授であったガウスの業績を踏まえながら、ゼータ関数の内容を更新したのです。

これは、つまりどういうことでしょう?リーマンは三次元のグラフを構成し、この関数の零点が、負の偶数と、実部が 1/2 の複素数に限られるという予想をしたのです。彼は、これらの零点が素数と関連していると考えました。

この関連性が、有名な素数の起源発見へと寄与することになります。

これらの問題についてさらに知りたい場合は、Google で「近くの数学個別指導」と検索してみてください。

ホッジ予想

ホッジ予想も、7つのミレニアム懸賞問題の一つとなっています。代数トポロジーと代数幾何学という、かつてリンクしたことのなかったいくつかの数学スキルが統合される問題です。

クレイ数学研究所は、この予想が複素射影的代数(特定の種類のトポロジー空間)の問題を提唱すると定めています。ホッジ物体は代数幾何学物体と関連するクラスの有理係数との線形結合で実現できる、という予想です。

フランス人数学者クレール・ヴォワザンが、この仮説に取り組んでいます。証明できれば、真の数学的貢献となると彼女は言います。

クレールはインタビューで、物体の種類と複素射影多項式について説明し、ホッジ予想とは、多項式の制約により定められる、射影集合における点の集合であると説明しています。

とても複雑ですよね?

これは最大の難題なのかもしれないし、そうではないかもしれない。いずれにしろ、理解するのが最も難しいというのは間違いないでしょう。とても深い数学の知識が必要とされます。あなたは、この謎を理解するための知識をすでに持ち始めているはずです!

視覚化できない幾何学の問題であるという点も、この問題を複雑にする理由の一つでしょう。

数学の個人指導を受けて、この問題の解決を目指してみませんか?

 バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

この予想は代数方程式についての問題です。これは、中等教育から代数を学んできているあなたには、おそらく馴染みのある数学概念でしょう。

しかし、この予想を解くには一定の数学スキルが必要とされます。まず、微積分の知識を少し蓄える必要があるかもしれません。

この予想は、楕円曲線上の異なる点の数を定めようとするものです。

xおよびyが共に有理数であるときの、多項方程式(xまたはy=0)を解くというのですが、もうすでに複雑ですよね…

この予想にも、100万ドルの賞金が掛けられていますが、各素数Pの解の数によって答えが変わってくると提案しているため、さらに解決が難しくなっています。

ナビエ–ストークス方程式

この問題は、物理学と流体力学を利用した問題です!問題解決の覚悟はいいですか…?

アインシュタインの E=mc2 ほど有名ではありませんが、ナビエストークス方程式には、物理学者も数学者も魅了されてきました。これは流体の運動に関係しています。

波 流体力学では、水やその他の液体がどのように動くかを研究する。(出典:Jeremy Bishop, Unsplash)

この予想は非線形偏微分方程式で、この問題が特異なのは、その解が未解決であるにも関わらず、方程式自体はよく使われているという点です。

この方程式は特に、海の水の流れを理解するのに役立ちます。

もしあなたに格別な数学や物理学のスキルがあるなら、ナビエストークス方程式にチャレンジしてみては!解ければ、クレイ数学研究所が定める7つの難題を解いた第二の人物としての称号が与えられ、賞金をもらって大金持ちになれてしまいます!

現在のところ、解が導かれているのはポアンカレ予想だけです。

ヤン–ミルズ方程式

もう一つの物理学の問題、ヤン–ミルズ方程式は、宇宙の基本的な物理的力に関し、その理解に伴う問題を解決することを目指したものです。

ヤンとミルズは、それらの粒子について明らかにするため、幾何学理論に基づくモデルを構築し、素粒子の説明を試みています。

「特定の量子粒子は正の質量を持つ」というヤンとミルズの理論は、数多くのコンピューターシミュレーションで検証されてきています。

二人の物理学者により生成されたこの理論はまだ証明されておらず、まだただの「考え」でしかありません。

P=NP

この問題は、おそらく最も重要です。

基本的に、この問題の答えが導かれれば、数多くの問題の解決につながることになるからです。逆に、未解決のままであれば、数学やコンピューティングの分野の他の数多くの問題も解決されないことになります。今日行われる多くの計算はこの分野に属し、NP困難問題として知られています。

計算式この問題を解くのは、計算と数学の問題を解くということ!(出典:Markus Spiske, Unsplash)

P=NP問題においては、答えが、与えられた中の一群の要素にあたるとき、Pを問題として扱います。

コンピューターの機能と代数に密接に関連したこの問題は、以下のように簡単に説明できます。

計算により、運により定まる内容を定めることができるか?

この未解決の問題、あなたは解けますか?

ここで関数のグラフを描く方法を説明しています。

ラムゼー数

ラムゼー理論は、秩序および、様々な規則の中心にあるモデルに関連しています。この理論においては、不秩序は存在できないことになります。

要約すると、紙の上にn個の頂点を描き、それぞれの頂点が互いに赤または青の線で結ばれているとき、赤か青の三角形が最低一つ存在するためには、nは6でなければならない、という理論です。

または、あるグループの少なくとも3人が互いに他人であり、少なくとも3人が互いに知り合いであるためには、グループには何人いなければならないか、という言い方をすることもできます。この答えは6になります。

しかし、3という数字を4に置き換えると、この問題は解決不可となるのです。少なくとも、今日までに解決できた数学者はいません。

あなたは、適切な公式を立てることができそうですか?

Lychrel数と回文

Lychrel数を理解するには、まず回文の意味を知らなければなりません。

回文とは、左から右へ、右から左へ読んだ時に同じになる、数字または言葉のことです。

17371は、回文の例です。左から読んでも右から読んでも同じになります。

ある数字に、その数を逆にした数を繰り返し足していき、その結果が回文にならなければ、それはLychrel数と知られる数となります。

59はLychrel数ではありません。その理由は…

59 + 95 = 154
154 + 451 = 605
605 + 506 = 1111

上記のように、上手い具合にもう一つの回文ができるからです。

回文が見つかっていない最小の数は196です。これは、まだその解き方が判明しておらず、数多くの数学研究者が情熱を傾けている問題です。

1200万回以上繰り返し足しても(もちろん自動的操作によってですが!)、196という数の回文は見つかっていません!

この種の研究を突き詰めてみたいと思いませんか?

代数、幾何学、物理学関係の問題を解き始める前には、厳密な数学のアプローチを学び、広大な科学の分野に身を置いてみる必要があります。

学校教育ではGCSE、A レベル、学位レベルまで、数学を通して記憶力そして知的能力をつけていくことができます。自宅での個別指導を受ければ、さらに進歩が望めることでしょう。

個別指導ではあなた個人に合わせて教え方が調整され、問題解決や分析のスキルを高めていくことができます!いつの日か、これらの未解決問題の一つをあなたが解くことになるかも!

 

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