一般教科 音楽 ヘルス&フィットネス 言語
共有

数学を学ぶ:方程式の解き方

投稿者 Nana、公開日 18/02/2019 Blog > 一般教科 > 数学 > 数学のヘルプ: 数学方程式を理解する

数学を難しい科目だと捉える生徒や大人はたくさんいます。しかし、あまり愛されることのない数学は、教育には欠かせないものとなっています。また、マスターできたなら学術面での成功に確実に近づけるとも言えるでしょう。

資格(Math Revision GCSE、A レベル、学位など…)のために勉強している限り、数学の問題を解くことからは逃れられません。その内容は、計算の基礎から、方程式、代数、幾何学、関数の問題へと発展していきます。

学習の後半になると、数学のスキルが問題解決のマインドの獲得、知的能力の向上へとつながります。これは、数学に直接関係なくとも、様々なタスクの達成に役立ちます。

このことを念頭に置き、数学の大事な項目の一つである「方程式の解き方」についておさらいしましょう!

計算機と少しの決意があれば、この記事を最後まで読み、方程式の解き方を確認できるはずです。読み終えるころには、多項式であれ、一次方程式であれ、因数分解であれ、様々な数学の問題が簡単に解けるようになっていることでしょう!

方程式とは?

連立方程式を解いたり、それをグラフに表すときも、他の分野と同様、使われる用語を理解するのが大切です。

数学の先生から「数学の力を高めたいなら数学用語の意味を理解することが必須」などと言われたことはありませんか?これには、一理あるのです。

では、方程式とは何でしょうか?ラルース辞書によると、以下のように定義されています。

特定の変数あるいは未知数について、解決されていない等式

辞書の定義では、「変数」や「未知数」という用語が出てきましたが、これらの言葉は、方程式を解き続ける限り、ついて回ります!変数とは、ある値を代替的に表すことを少し難しく言った言葉です。代数を勉強したことが一度でもあれば、x を使うという考え方に慣れていると思いますが、この x がまさに代数なのです。未知数というのは、大抵の場合、値がわかっていない変数のことです。その値を導くのが課題です!

上の内容がちょっと専門的すぎると感じた場合、教室では次のような定義もなされます。

方程式とは、変数(大抵 x)から成る等式である。問題を解くには、変数を見つける必要がある

さて、方程式の問題を解くのに実際に必要となる概念は、次のようにまとめられます。

  • 代数を含む両辺が等しい
  • 一つ以上の未知数を見つける
  • x と呼ばれる変数がある
  • 問題を解くために使われる

一次方程式であれ、二次方程式であれ、連立方程式であれ、因数分解し、係数を揃えて消し、解決するというステップは同じです。

方程式を解くために必要なスキル

方程式を上手く解くには、数学関連の一定のスキルに加え、よく言われる  「問題解決の姿勢」が必要となります。この姿勢は、教育過程において習得するものであり、数学のスキル向上に役立ちます。

問題解決の姿勢

数学はなぜ、学生や大人によく「日常生活に使えるものではなく、ただの学習科目である」とみなされてしまうのでしょうか。これは、数学という科目につきまとう懸念の一つです。

しかし実際には、「数学に進んで頼んでなんかいない」と思っても、私達の日常において数学は欠かせない要素となっているのです。食材、家の購入、銀行講座の開設、勉学まで、数学は日常にあふれかえっています。たし算やかけ算、ひき算、さらには方程式まで、気付かぬうちに使っていたりするのです!

学校の数学の先生(あるいは、SuperProf の数学の先生)は、 日常使えるスキルを教えてくれます。そのスキルは生涯役に立つことでしょう。

以下は、問題解決の姿勢を身につけていくのに鍵となるポイントです。

綿密であれ

数学の問題を解くときには、綿密に取り組み、重要なステップをすべて踏む必要があります。方程式が関わる場合は、この点が特に重要です。試験や数学の問題では、詳細にこだわり、論理的かつ几帳面に解かなければなりません。

記憶力は大切

数学を理解するための脳 数学のワークシートでスキルアップ!継続は力なり!(出典: Pixabay)

数学者は記憶力を使って作業をしなければなりません。定期的に練習すれば、クラスで学んだ内容をいかに関連させて目の前の問題を解けばいいのか、わかるようになります。様々な問題を解けるようになるということはつまり、過去にやった内容が問題に出題されることが多くなり、これまでの経験を生かして、ずっと簡単に解決できるようになる、ということなのです。

整理整頓!

方程式を解くには、一連のステップを踏む必要があります。問題を解く環境が整然としていて、問題へのアプローチが整理されていると、パニックにならずに、一つ一つの数学の問題に対処できるようになります。

方程式を学ぶのはいつ?

小学校で、数の数え方を学び、暗算に慣れていきます。それから、計算の基本であるたし算、ひき算、かけ算を学びます。グラフを描く基礎を学ぶこともあります。その指導の内容が数学の基礎となり、そこで得たスキルは、後に出てくる方程式の問題で必要になります。

数学を解く 指数方程式や二次方程式は、グラフを描いて答えを出せることも。(出典:Pexels)

中等教育になると、だんだんと一次方程式がカリキュラムに入ってきます。中1で、一つの未知数が含まれた簡単な方程式を学びます。以下は、この時期に学ぶ方程式の例です。

この問題では、未知の値 x を見つけなければなりません。

中2、中3になると、方程式に分数や負の数が使われるようになりますが、これは、GCSE や A レベルに備える練習となります。この段階では、以下のような方程式に取り組みます。

GCSE や A レベルでは、数学のレベルが高くなり、連立方程式などのより複雑な方程式を解かなければなりません。そのためには、因数分解、平方完成、因数分解、置換、グラフの切片特定をはじめとする様々な手段が必要となります。A レベルで数学をさらに学ぶ場合、複素数などの複雑な内容にも取り組むことになります。

そして、この種の問題はその後も出題され続けます。大学で数学や科学の学位取得を目指す場合、さらに何回な問題を解いていくことになるのです。

中には1ステップで解ける方程式もあり、下のような方程式は解けるけるかもしれませんが、複数のステップが必要となる難しい方程式も多く出てくるので、いくつかの数学の分野(グラフ計算機や傾きについての知識、消去法や置換を使った連立方程式の解き方など)における知識が試されることになります。

一次方程式を解く

一次方程式は、教育過程でまず最初に出てくる方程式で、通常解くのが最も簡単です。

基本的に、一次方程式を解くのに必要なのは、小学校で習った4つの計算方法-たし算、ひき算、かけ算、わり算だけです。

一つの未知の値が含まれた一次方程式を解くとき、ゴールは「x の値を求める」というシンプルなものです。数学用語ではよく、「x について解く」という言い方をします。

簡単な方程式では、以下のようなステップで解いていきます。

  • 方程式の片方の辺に、未知数(x であることが多い)を移項する
  • 共通の項をまとめる
  • x の係数で両辺を割り、係数をなくす
  • 答えを書く

以下の例では、実際に方程式を解くステップを示しています。

x を方程式の一つの辺に移項する

x を方程式の片方の辺にまとめた

共通の項をまとめた

両辺を4で割ることによって、x の係数を消した

できました!これで、数学史上最も有名な一次方程式の一つを解くスキルを得たことになります。その有名な方程式とは、ディオファントスの墓碑銘として知られる問題です。

この墓碑銘のメッセージからは方程式を立てることができ、ディオファントスが何歳まで生きたのかというのがその方程式の解となります。そのお墓はなんと3世紀にも遡るものです。

一次方程式は方程式の基礎であり、何度も何度も練習して、確実にできるようにすることが重要です。さっそく今から練習を始めましょう!

因数分解の方程式を解く

因数分解の方程式は多項方程式の一種であり、(少なくとも AS レベルまでは!)二次方程式として出てくることの多い問題です。

基本的に、以下のような方程式になります。

x は未知の変数であり、a、b、c、d は問題では数字として表示されます。数学のレッスンで、先生が次のようなことを言っていませんでしたか?

少なくとも一つの因数が0であるときのみ、因数の積が0になる。

この説が正しいかを試すには、x が入った因数の方程式をそれぞれ解く必要があるのです。

問題の解き方を学ぶ最良の方法は練習です。繰り返しになりますが、この点はとても大切なんです!

以下に、因数分解の方程式の例とその答えを見てみましょう。

カッコ内の2つの式が、それぞれ因数に相当します。ここで用語の確認ですが、先程出た「x の「係数」」とは、この例では2と3に当たります。この問題を解くには、カッコ内の両方の式を検討しなければなりません。まず左側の式、次に右の式という順で進めます。繰り返しになりますが、未知数の x について解くのがゴールです。

(因数の積が0になるには、因数の式が0になる必要がある)

もう一つのカッコ内の式も同様に…

(因数の積が0になるには、因数の式が0になる必要がある)

x の係数を消して…

因数が2つあるので、x の答えは2つになります。これは、解集合と呼ばれることがあります。さて、答えが出ました!x の値は、-4/3 または 5/2 になります。

数学のレベルが上がるにしたがい、二次方程式を解けるようになることがとても重要な意味をもってきます。二次方程式が解けないと、高次方程式に苦戦することになるでしょう。まずは、一次方程式の解き方について知識を蓄えることから始めましょうか?

分数を含む方程式

数学を解く女の子 方程式が難しい?数学の指導が役に立つはず!(出典:Pixabay)

分数を含む方程式についても、ルールがあります!以下は、そのルールです。

商は、分子が0で分母が0ではないときにのみ、0となる。

以下のような方程式を目にすることがあるでしょう。

分数が含まれた上のような方程式を解くときには、次のようなステップを踏みます。

  • 分母が0になる値を省く
  • 同じ分母になるように、式を簡単にする
  • 等号の片方の辺が0になるように移項する
  • 方程式の解を求める
  • 答えが、分母が0になる値ではないことを確かめる

以下に、分数を含む方程式の解き方を見てみましょう。分数をまとめて消すため、両辺に同じ値をかけるテクニックを使います。この方程式をやってみましょう。

まず、分数を消します。

一次方程式の例と同様に、両辺に (x+1) をかけました。左辺に(x+1) をかけると、すぐに分母の (x+1) で割ることができます。そして前の例と同様に約分し、分母と分子の両方の (x+1) を消すことができるわけです。

いい感じにシンプルになってきました。左辺は、x だけになって分母はなくなり、解決に近づいています。右辺の分数も同じ方法で消したいと思います。

右辺の分数をなくすと、下のようにずっとシンプルな式になります。

ここから、イコール0の等式にしなければなりません。(x-1)(x+1) で両辺を割ることもできますが、そうするとまた分数になってしまいます!そうではなく、それぞれのカッコの中身を展開します。方法としては、カッコのすぐ外にある値をカッコ内のすべての値にかけます。左辺は x をかけるだけなので楽です。

を展開すると、

になります。これら2つの式は同じ値(等式で結べる同じ値)であるため、ここで右側の式を変える必要はありません。ただ左辺を書き換えただけで、式が意味する内容は変わらず同じなわけです。この点がまだイマイチ不明瞭だという場合は、GCSE Maths Revision の記事を読んでみてください。

さて、右辺はもう少し厄介な作業になりますが、同じ原則にしたがいます。左側のカッコ内の値をそれぞれ、もう一つのカッコ内の値にそれぞれかけてやる必要があります。線で示すと、こうなります。

赤線は、1つ目のカッコ内の x をかけることを意味し、青線は同じカッコ内の -1 をかけることを意味します。

これにしたがうと、次のような式ができます。まずは、1つ目のカッコ内の x の式から。

次に、同じカッコ内の -1 をかけた式は以下のようになります。

これらの式は、右辺のカッコを展開した場合の項となります。さて、これらを以下のように合わせて一つの式にします。この式はもともとの方程式の右辺に当たります。

では、これらの2つの式を使い、もともとの方程式の形で表します。

繰り返しになりますが、この式が意味する内容はもともとの式と全く同じであり、分子を含むカッコをとっただけです。次に、x または x^2 のついた値を左辺に移項します。

そして、似た値をまとめます。上記の方程式では、左辺と右辺に同じ操作を行って、なるべく項の少ない式にしています。

最後のステップはとても簡単です。x の係数を消すだけですね。

-1/2 は分母が0になる値ではないので、答えは x = -1/2 となります。最初は(x 2乗の項があるため)二次方程式としてスタートしたものの、互いに約分でき、答えは一つだけでしたね。

答えのない方程式というのもあるのです!

分数を含む方程式の問題には、これまでに触れた二次方程式、指数、有理数と無理数などの同じ概念が使われます。

方程式を立てて、問題を解く

与えられた問題について、方程式を立てるよう指示される場合もあります。これは難しそうに聞こえますが、ご心配なく。基本的には、自分で文章題を作っているのと同じことだからです!

方法は簡単で、正しい答えを導けるように綿密に処理するだけです。

  • 問題を何回か読み、しっかりと理解する
  • 聞かれている数字に相当する未知の値を特定する
  • いらない情報を省き、問題を項として書いて表す
  • 立てた方程式を解く
  • 解答が正しいか見直す
  • 方程式を書いて問題の解とする

幾何学の文脈でこのような問題が出題されることがありますが、心配は無用です。ステップは変わらないので、幾何学の授業内容を事前に復習しておけば大丈夫です!

与えられた条件をもとに方程式を立てる問題には、以下のようなものがあります。

「三人のいとこ、ジョン、ティム、サリーの年齢を合わせると60になります。サリーの年齢はティムの3倍、ジョンはサリーより10歳年下です。それぞれの年齢を答えなさい。」

この問題では、見出さなければならない未知の値は、三人のいとこの年齢であり、方程式を立てて解くことができます。実際にやってみてください!

方程式の知識を磨く、あるいは、幾何学の分野で新しいことを学ぶなど、数学のスキルを向上させたり、マスターしたりしたい場合、いくつものオプションがあります。

今日の例はすべて、有理数に関連するものであり、不等式は扱いませんでした。しかし、不等式は同じ方法で解くことができます。等号を不等号に変えるだけです。

方程式や不等式はなぜ大事なのでしょうか?それは、方程式や不等式は数学の基礎的知識であり、微積分やさらには行列を学ぶときなどに不可欠となるからです。

整数、小数、有理数、様々なタイプの方程式(指数方程式や二次方程式、連立方程式など)の問題を効果的に解く力は、今後数学の学習を進めていく上で非常に大きな価値をもってきます。

家で数学の先生による授業を受けるのは、数学の能力アップにつながるでしょう。方程式などの難しいトピックも、あなたのペースと学習スタイルに合わせて説明してくれます。

数学の個別指導を受けながら、復習教材を定期的に見直し再度取り組んだり、オンラインや YouTube で数学のレッスンをフォローすれば、数学が大得意になることでしょう!

関数をグラフで表す方法 や未解決の数学の方程式についてもチェックしてみてください。

 

共有

この他にもこんな記事があります
この記事は役に立ちましたか?

役に立つ情報がありませんでしたか?次はもっと良くなるように気をつけます!充分です!他に何かありますか?ありがとうございます!質問があればコメント欄に記入してください!お役に立てて良かったです :slightly_smiling_face: (最初に投票する)
Loading...

コメントをお願いします

avatar