この種の数学の問題では、多項方程式、指数方程式、対数方程式、三角方程式を扱います。

関数の学習では、変化と極限、すなわち、極値と漸近線(あれば)を求め、最終的には方程式をグラフ化することが必要です。

試験で毎年ほぼ確実に出る問題を解く上で、そのためのスキル獲得は必要不可欠です。ご想像の通り、これらのスキルをマスターすれば、数学の学習にかなり役立つことになります。

以下に関数の例を挙げます。

 

関数を微分する

関数 f(x) は、3つxの項からなる多項式関数です。以下は、微分についての集中コースでは次のような式を扱います…

これを念頭に、微分した方程式は以下のようになります。

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導関数を因数分解する

このステップでは導関数をできる限り簡単にすることが目的ですが、因数分解ができない場合もあります。後でとても役に立つので、できる場合には因数分解を忘れずに行いましょう。

方程式を解くことについての過去の記事で、因数分解に慣れてきた人もいるのではないでしょうか?

上の導関数を見ると、各項に3の因数が含まれているのがわかります。よって、式を簡単にすると以下のようになります。

右辺のカッコ内の値を見てみると、見たことのある二次方程式の形になっていることに気付くでしょう!このブログをよく読んでくださっている方なら、二次方程式を解くことについての前回の記事を覚えているかもしれません。

ここで、便利な方法が使えます。この二次方程式の値を、判別式に置き換えてみましょう。そこで値が0となれば、この方程式は実数解を2つ持つことになります。値が0であれば、実数解を1つ持つことになります。

ご覧のとおり、今回の式で16は0より大きいので、実数解が2つあることになります。上の方程式が (x+a)(x-b) の形になるように、2つの値(aとb)を求めてみてください。すると、以下のようになります。

因数分解すると (x+3)(x-1) となり、手前の3は先程の式で外に出された数です。

導関数のグラフを描く準備

グラフを描く前に、方程式自体を検討すればその性質を見出すことができます。

数学の本を持つ男の子
この数学概念は難しそうに見えるけど、きっと理解できるようになる!(出典:Ben White, Unsplash)

カッコの一つは (x+3) です。これにより、yの値が0の場合、グラフのx軸切片は-3となることがわかります。xが-3より大きい場合、y軸切片は負の値となります。xが-3より小さい場合、y軸切片は正の値となります。

また、もう一つのカッコは (x-1) です。その場合は逆になり、xが1より大きい場合、y軸切片は正の値となります。xが1より小さい場合、y軸切片は負の値となります。

一旦、もとの方程式に戻り、以下のような原理を確認します。

関数の導関数が0になるところに、その関数の局所的最大値と局所的最小値がある。

たった今、問題の式の導関数は x = -3 と x = 1 のとき0になるとわかりました。関数の最大値と最小値を見つけるには、これらの値をもとの関数に当てはめ、そのyの値を出します。

すると、 (-3, 33) と (1, 1) を見いだせます。

ここで問題になるのは、このどちらが最大値で、どちらが最小値かということです。一つの方法として、簡単にグラフを描いてみるという手があります。そうすれば、すぐにわかります。または、座標自体をヒントにできます。33は明らかに1より大きいので、これが最大値というわけです。

グラフを描く

いい調子!導関数を使って、関数の最大値と最小値を出すことができました。

最後のステップは、グラフを描くことです。そのために、まず最大値と最小値に点を入れます。グラフの形はまだよくわからないにしても、線がこれら2つの点を通らなければならないということは理解できます。

三項方程式の大体の形はすでにわかるかもしれませんが、一番安全なのは、最大値と最小値の前、間、後にいくつかの他の点を入れ、それらの点を結ぶ方法です。

次の値を使うことにしましょう。

  • x -> f(x)
  • -5 -> 1
  • -2 -> 28
  • -1 -> 17
  • 0 -> 6
  • 5 -> 161

これで、最大値と最小値の間の点がいくつか描けるので、つなげてグラフにすることができます。

問題の関数のグラフ

まとめ

今回の数学サポートは、関数を解いてグラフを描く方法についての基本事項でした。ここで触れなかった内容もありますが、それらは試験に頻繁に出る可能性は低いものです。例として、関数自体に不連続性がある問題はその一つです。

今回の記事がよくわからなくても焦る必要はありません!AS や A レベルで扱う問題であり、GCSE の学生にはあまり関係ありません。ただし、多くを知っていて損はなし!未解決の数学の方程式というのが、いくつもあります。

数学の問題の知識を固めるために、個別指導を検討するのも一つの手です。SuperProf ならぴったりの先生が見つかりますよ!

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Nana