子供にも大人にも、厄介物になりうる数学。二次方程式を解く、グラフについて考えるなどというとき、パニックになりませんか?数学や代数の問題を解くときには、物理学者ですら懸念を抱えると言われています。

方程式の問題に、あなたはどの程度自信がありますか?指数のすべてをわかっている?それとも、関数などのテーマを全く理解できていない状態でしょうか?

たくさんの人が学校で、Aレベル、 GCSE Math Revision は、実生活で役に立たないと主張して嘆きます。しかし、実際はその逆で、特定の定理を使うことはないにしても、あなたの脳では、実生活のシチュエーションにアプローチを代用していつの間にか使っている、ということがよく起きているのです。

さらに、合理的な数学的アプローチを使うことで、あらゆる種類の問題や多項式を解決できるだけでなく、記憶力を向上させることもできるのです。

算数を解く子供
計算方法を学んだら、次は問題を理解する時間。(出典:pixabay.com)

学校教育を通して課題に取り組むことになりますが、数学がもっと得意になりたいたなら、一次方程式にせよ二次方程式の解の公式にせよ、式を簡単にして解く方法を知る必要があります。

問題(または方程式)がなんであれ、その解決のアプローチは、代数計算の面からは同じです。大抵の方程式の問題では、xの値を出すことが求められます。つまり、公式、時に応じて係数が与えられ、それを並べ替えて未知の値(通常、x)を割り出すというタスクです。

また、代数方程式の公式は与えられず、言葉で説明された問題について、自分で公式を作って解決しなければならない場合もあります。

数学知識に空白がある場合やそれを向上させたい場合、そういった基本的な数学スキルをマスターする必要があるのです

数学は主要科目であり、数学で得たスキルは、勉学や仕事に就いてからもずっと力になるということを忘れないでください。

数学の問題を解くためのアドバイス

数学の問題を解くのに必要なアプローチを学ぶことは、数学指導の真髄にあたります。実際、だからこそ SuperProf の数学のレッスンでは全面的な数学の問題を扱います。

幾何学でも代数でも、数学の復習のクラスで行う問題の多くが、あなたが受けるテストに出る問題となっています。レベルを問わず、数学問題を解く方法は同じです。

問題を解くことは、一種の捜査と同じようなものだとイメージしてください。手がかりがあり、取り調べを行って必要なステップを踏んで解決を図るのです。数学で力を上げたいなら、この概念を知っておく必要があります。

数学のクラスでもプライベートの個別指導でも、数学において必須の概念を学びます。数学の問題練習は単に、これらの概念を使うことです。ですから、復習シートとクラスの練習問題に取り組むことは、数学に長ける上で必要不可欠なのです。

教室
数学の問題を解くには、クラスの内容をしっかりと聞くことが大切!(出典: pixabay.com)

問題を解く上で必須のこれらの概念を習得できたら、次には以下の作業が必要となります。

  • 電卓を手元に置き、作業環境を整える
  • 実際に解き始める前に、時間をとって問題を何度か読む
  • すでにある手がかりを把握する
  • いらない紙で仮説を検証する
  • 出した結果について、何度か確認をする

数学の力を上げたいなら、問題を解けるようになることが必須です。しかし、難しさはなくならないかもしれない。その場合、モチベーションを保ち、粘り強く続けることが必要になります。

数学の先生は、個別指導を通して、生徒が重要な数学のスキルを高め、自信をつけられるようサポートします。

数学の問題解決が難しい場合には、生徒の数学の力がより早く向上するように先生が定期的な練習を設けたり、指導方法を調整したりします。

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方程式の解き方は?

方程式を解く前に、数学者によるその定義を理解する必要があるでしょう。

方程式とは両辺が等しく、通常、xという変数があり、その値を導くことが求められます。

大抵、小学校で加算、減算、除算、乗算、暗算を学びます。しかし、

7x + 5 = 3x – 15

という形で方程式が出始めるのは、もっと後になってからです。

xという文字に出会い、方程式を解き始めるわけですが、その過程でもまだ加算、減算、除算、乗算を使います。学年を上に進むごとに、さらに多くの方程式に取り組みます。

義務教育終了に近づくにつれ、数学のレベルが上がり、そのレベルに伴って、方程式も複雑になります。

数学の公式
中等学校の数学で方程式は必須項目。(出典:stock.tookapic.com)

学校教育全体において、そして、数学や科学を継続し熱意をもって勉強する人にとって、方程式はずっとついて回ります。ですから、遅かれ早かれその解決法を学ぶ必要があるのです。

最もシンプルな方程式(一次方程式)は最初に出てくる問題で、以下のように取り組みます。

  • 未知数を移項する(イコールをはさんだ片側を、未知の値だけにする)
  • 項を計算する
  • (方程式のとおりに)除算、乗算、加算、減算をする
  • 答えを書く

例えば、方程式3x – 5 = –x + 2は以下のように解くことができます。

  • 3x + x = 5 + 2
  • 4x = 7
  • x =  7/4

よってx = 1.75

方程式を解くとき、等号をはさんだ片方の辺に行った操作は、もう一方の辺にも必ず行う必要があります。そうしないと、両辺が等しくなくなってしまうからです。

また、問題を解く際には、加算は減算の逆、除算は乗算の逆、平方根を取るとは2乗の逆、因数分解は展開の逆である、ということを覚えておきましょう。

1次方程式が解けるようになったら、(ax + b) (cx+d) = 0 といった右辺が0の二次方程式に進みます。

数学の先生が伝えるここでの重要なルールは、その一つの因数が0であるときにのみ、その因数の積が0になるということです。つまり、問題含まれる因数の数だけ、方程式を解く必要があるということになります。

しかし、商を含むまた別の種類の方程式は、生徒にとってはとても複雑に感じられます。商は、f(x) / g(x) = 0のように表されます。

商は、分子が0で分母が0ではないときにのみ、0となるということを覚えておきましょう。

ですから、商が0の方程式にするために、分母が0になってしまうような場合は省きつつ、分母を約分していく必要があります。

  • x/ x+1 = x-1 / x+2
  • x (x + 2) = (x − 1)
  • (x + 1) x (x + 2) − (x − 1) (x + 1) = 0
  • x² + 2x – (x² – 1)  = 0
  • x² + 2x – x² + 1 = 0
  • 2x + 1 = 0
  • x = -(1/2)

よって答えは、= -(1/2)

これらは単純に数学の問題、または、幾何学の問題であることもあります。この場合、その方程式についての知識を当てはめながら、問題解決の手段を使わなければなりません。

問題を数学の項で表してから解く必要がある場合、答えを記述することも忘れないようにしてください

関数の解き方

学校で学ぶ高度な数学項目の一つに、関数の学習 があります。

ノートと鉛筆
数学では、紙切れが最大の味方。(出典:stock.tookapic.com)

多項式方程式、指数方程式、対数方程式、三角方程式と、その変化および極値について学びます。

極値、漸近線を見つけ、何より関数を描かなければなりません。つまり、以下のステップにしたがって変化の表の書き方を学ぶ必要があります。

  • 関数を導く
  • 因数分解して、積または指数を使った形にする
  • I に対する f’(x) を求める
  • I に対するFの変化の表を書く
  • 区間に関数を描く

個別指導の数学の先生と一緒に、導関数と変化の表に取り組むことができます。定期的に数学の練習をすることで、力が伸びます。

ミスを避けるために、曲線の点を描くときはいつも慎重に行うようにしましょう。

Aレベルの過去の問題を使って練習することもできます。そうすれば、試験を受けるときに内容を見て焦ることもなく、パスできる可能性も高まります。

未解決の数学問題

数学では、数学的観念を学ぶだけでなく、数学的に考える力が身につきます。数学的でない人でも、日常生活において数学を使えるのです。

中には、数学が好きすぎて、人生を捧げたいという人もいます。あなたがそういうタイプなら、未解決の数学問題に関心があるかもしれません。実際のところ、まだ数学者が答えをだせていない問題というのは山ほどあるのです。

キーボード
コンピューターでも解けない問題! (出典:pixabay.com)

クレイ数学研究所では、2000年にそのうちの7つを定めました。それらの問題は、方程式で切片を見つけたり、置き換えたり、グラフ電卓でちょっと計算してみて答えが出るほど、簡単ではありません。

そのような以下の難解な問題を一つ解いた場合、100万ドルの賞金がもらえます

  • リーマン予想
  • ホッジ予想
  • バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想
  • ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題
  • ヤン–ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題

7つめの問題「ポアンカレ予想」は、2003年にロシア人数学者のグリゴリー・ペレルマンにより証明されました。ですが、ご心配なく。まだ6つも残っています!

これら未解決の問題に加え、ラムゼー数Lychrelもあります(よく知られる、操作を繰り返しても回文数にならない196を含む)。

こういったチャレンジに備えるには、数学と問題解決についてよく理解する必要があります。

二次方程式の問題の解き方に今も自信がない、あるいは、一次方程式、微積分、複素数、三角法、記号法に苦戦している、または、ただ公式を簡単にする方法を学びたい場合など、 数学の先生が、将来数学で成功できるようにサポートしてくれます

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Nana